除了连续函数还有什么函数可积

问题描述

精选答案

除了连续函数，还有以下几类函数可积：

1. 有界函数：如果函数在一个有界闭区间上有界，即存在一个实数M，使得对于该区间上的所有$x$，都有$|f(x)|leq M$，则称该函数为有界函数。

有界函数在有界闭区间上是可积的。

2. 单调函数：如果函数在一个有界闭区间上单调递增或单调递减，则称该函数为单调函数。单调函数在有界闭区间上是可积的。

3. 分段连续函数：如果函数在一个有界闭区间上可以划分为有限个子区间，每个子区间上函数是连续的，且在区间之间的分界点上可能存在有限个或无限个第一类间断点，称该函数为分段连续函数。分段连续函数在有界闭区间上是可积的。

4. 有限个第一类间断点的函数：如果函数在一个有界闭区间上只有有限个第一类间断点，即有限个点上函数的左右极限存在，但不一定相等，称该函数为有限个第一类间断点的函数。有限个第一类间断点的函数在有界闭区间上是可积的。需要注意的是，这里所说的可积是指黎曼可积。此外，还有勒贝格可积、黎曼-斯蒂尔切斯可积等其他更广义的积分概念，对更多类型的函数有可积性的要求。