什么是三次函数

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精选答案

形如y=ax³+bx²+cx+d（a,b,c,d为常数,且a≠0）的函数叫作三次函数(cubic function)。

三次函数的图像是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数，被称为“三次函数”，则它的性质如下： 定义域定义域：x∈R值域 值域：y∈R三次函数的值域求解，可以借助极限的思想，根据函数的表达式可知，影响其值域范围的主要是“ax3”这一项，因此可得：当a＞0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于+∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于-∞。当a＜0时，x趋近于+∞，则f(x)趋近于-∞；x趋近于-∞，则f(x)趋近于+∞。又因为f(x)是连续的函数，且x∈R，所以f(x)的值域为R。备注：由于三次函数的值域为R，则它的函数图像与x轴至少有一个交点，换句话说三次方程至少有一个根。图像和单调性f(x)=ax3+bx2+cx+d, (a≠0)∴f’(x)=3ax2+2bx+c则△=(2b)2-4∙3a∙c=4(b2-3ac)①当△＞0，即b2-3ac＞0；f’(x)有两个不同的根，即f(x)有两个极值点x1、x2(令x1＜x2)，则三次函数单调性的情况如下：当a＞0，f(x)在(-∞，x1)，(x2，+∞)为单调递增，(x1，x2)为单调递减；当a＜0，f(x)在(-∞，x1)，(x2，+∞)为单调递减，(x1，x2)为单调递增。则f’(x)、f(x)大致图像分布如下：②当△=0，即b2-3ac=0；f’(x)只有一个根x0，无极值点，则三次函数单调性的情况如下：当a＞0，f(x)在R上为单调递增；当a＜0，f(x)在R上为单调递减。则f’(x)、f(x)大致图像分布如下：备注：由上图表可知，f(x)为单调函数，且点(x0，f(x0))是函数f(x)的一个拐点。拐点的定义：在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)，另外拐点的二阶导数为零，而三阶导不为零。

③△＜0，即b2-3ac＜0；f’(x)无实根，无极值点，则三次函数单调性的情况如下：当a＞0，f(x)在R上为单调递增；当a＜0，f(x)在R上为单调递减。则f’(x)、f(x)大致图像分布如下(无拐点)：极值与最值由函数的图像可知，三次函数的极值与最值的情况如下：

①当△＞0，即b2-3ac＞0；函数有极值，且极大值和极小值点各1个，无最大值和最小值点。

②当△≤0时，即b2-3ac≤0；函数无极大值和极小值点，也无最大值和最小值点。方程根的分布对于讨论ax3+bx2+cx+d=0的根的分布情况，在研究函数的图像部分可知，f’ (x)的判别式△对f(x)的极值点的个数有影响。

①当△＞0时，即b2-3ac＞0；此时f(x)有两个极值点x1，x2(1)当f(x1)∙f(x2)＞0时，此时方程只有1个根(函数图像与x轴只有1个交点)，具体如下图所示：(2)当f(x1)∙f(x2)=0时，此时方程有2个根(函数图像与x轴有2个交点)，具体如下图所示：(3) 当f(x1)∙f(x2)＜0时，此时方程有3个根(函数图像与x轴有3个交点)，具体如下图所示：②当△≤0时，即b2-3ac≤0；由函数的单调性可知，此时f(x)恒为单调函数，只与x轴有一个交点，即方程只有一个根。综上可知，三次方程最少有一个根，最多有三个根。三次方程韦达定理设三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3，则韦达定理为：

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含自变量项的最高次数是三的函数是三次函数。