任何n阶循环群都与什么同构

问题描述

精选答案

设G为n阶循环群,H为n阶群,f:G->H为同构 则f把G中的所有元素e,a,a^2,...,a^(n-1)映为H中的e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1)n个元素.由于H是n阶的,所以{e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1)}就是H的全部元素.于是H也是循环群,由元素f(a)生成 因此与循环群同构的群一定是循环群;换句话说,非循环群和循环群一定不同构.

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任何n阶循环群都与整数模n的加法群Zn同构。这是因为循环群由一个生成元生成，而Zn也由整数模n的加法生成。两者的群结构和运算规则相同，因此它们是同构的。同构意味着它们具有相同的群结构，尽管元素的表示方式不同。