曲线是连续的线吗

问题描述

精选答案

曲线一般来说是连续的，但连续并不等同于光滑。

连续曲线意味着曲线上的每一点都是曲线的一部分，没有断裂或跳跃，即在曲线的任意两点之间，都可以找到无数个点属于这条曲线。这是数学上对连续性的基本定义。然而，在某些特殊情况下，曲线可能不是光滑的，即使它们是连续的。例如，柯西之螺（Cassium Spiral）是一条连续但不可导的曲线，它的形状像一个螺旋，随着x轴的增加，曲线会无限地重复自身，导致曲线的斜率（即导数）在某些点上不存在。因此，柯西之螺不是光滑的曲线。总的来说，连续曲线是光滑的，但光滑曲线不一定是连续的。光滑曲线意味着曲线在该点附近可以无限接近于零斜率，即导数在某点存在且有限。