压缩映像原理是不是充要条件

问题描述

精选答案

条件应该是a∈(0,1)吧.考虑映射f:R→R,f(x)=a·sin(x).对任意x,y∈R,|f(x)-f(y)|=a|sin(x)-sin(y)|=2a|sin((x-y)/2)cos((x+y)/2)|≤2a|(x-y)/2|(|sin(t)|≤|t|,|cos(t)|≤1)=a|x-y|.a∈(0,1),故f是完备度量空间R上的压缩映射.由压缩映射原理,f在R上存在唯一不动点,即x=f(x)恰有1个解.然而易见x=0已经是1个解,所以是x=a·sin(x)的唯一解.说实话这里使用压缩映像原理有点多余,对x≠0直接用|sin(x)