如何判断空间向量共面

问题描述

精选答案

用纯几何的观点看待这个问题。

在此我们只认为向量是一条有向线段，且只研究自由向量。第一个问题可由向量共线基本定理得到。设已知向量坐标为(x,y,z)，而零向量坐标为(0，0，0)，存在实数0使得(x,y,z)*0=（0，0，0），故零向量与任意向量共线。第二个问题，既然研究的是自由向量，共线向量组中的每一个向量肯定可以平移至同一直线上，这样直观理解也能发现问题是成立的。实际上，共线是共面的充分不必要条件。这个用几何公理或反证法可以加以证明。第三个问题等价于平面向量基本定理了。我们换个角度看这个问题，就变成了：已知两个不共线向量e1,e2，若e3//e2，那么三个向量共面。这显然是正确的，因为前两个向量确实定了一个平面，第三个向量相当于在这平面的一条直线上取一个线段。第四个问题等价于三点确定一个平面的公理。把两个向量的始端重合，其始端和两终端的三点确定同一个平面。以上是几何的直观证明，希望对题主有所帮助～

其他回答

英语学习知识与方法

要判断空间向量是否共面，可以使用以下方法：

1. 判断三个向量是否线性相关。如果三个向量线性相关，则它们共面。如果三个向量线性无关，则它们不共面。

2. 利用向量叉积的性质。如果三个向量a、b、c共面，则它们的叉积可以表示为：

(a×b)·c=0

也就是说，a与b的叉积得到的向量与c的点积为0。如果这个式子成立，则a、b、c共面；否则，它们不共面。

3. 利用行列式的性质。将三个向量作为列向量组成一个3×3的矩阵，然后计算该矩阵的行列式。如果行列式为0，则这三个向量共面；如果行列式不为0，则它们不共面。