分圆多项式在Z上不可约怎么证明

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精选答案

分圆多项式指某个n次本原单位根满足的最小次数的首1的整系数多项式（它必定是不可约多项式）.于整系数多项式我们还有一个简单的事实:如果多项式f(x)在有理数域上可约,那么对任意的素数p,f(x)(modp)也可约.反过来,如果存在素数p,f(x)(modp)不可约,那么f(x)必定是不可约的.这就为判定不可约多项式提供了另一个有效的法则,它把有理数域(整数环)上的多项式转化到了一个有限域上去了,这个有限域正是素域$Z_p$.这样事实上我们必须要建立有限域上的多项式的理论,才能更好的应用这个方法下面的一个例子是这方面的一个典型应用:我们将多项式$x^n-1$分解,它所分解得到的不可约多项式称为分圆多项式.事实上,分圆多项式的定义可以用以下的方式来得到:设ε是$x^n-1=0$的一个根,即ε是n次单位根,如果对任意的自然数k