什么是定积分的换元积分法和分部积分法

问题描述

精选答案

定积分的换元积分法和分部积分法是求解定积分的两种常用方法。

1. 换元积分法 当被积函数的形式较为复杂，难以直接积分时，可以通过引入一个新的变量替换原有的变量，从而简化被积函数的形式。这种方法称为换元积分法，也叫变量代换法。换元积分法的基本思路是将被积函数进行代换，使得原有的变量被新的变量所替代，从而使积分变得更加简单。常用的代换变量有三角函数、指数函数、对数函数等。换元积分法的具体操作步骤为： - 将原积分中的被积函数表示为一个新的函数y=f(u)的形式； - 对被积函数中的自变量u进行变换，将其替换为一个新的自变量x，即u=g(x)； - 计算出新的被积函数g(x)，并代入原积分中，得到新的积分； - 对新的积分进行求解，并将求解结果用原有的变量表示。 2. 分部积分法 分部积分法是一种求解含有乘积的被积函数的积分的方法。这种方法基于乘积公式f(x)g'(x)=f(x)dg/dx+g(x)df/dx，将含有乘积的积分转化为包含单项式的积分，从而简化求解过程。分部积分法的具体操作步骤为： - 将被积函数表示为两个函数的乘积的形式； - 选取一个函数作为“u”，另一个函数作为“dv”； - 计算出“u”的导数du和“v”的原函数v，并代入分部积分公式中； - 对分部积分公式进行求解，得到最终的积分结果。 需要注意的是，应根据具体情况选择使用何种方法求解定积分，以便得到更加准确和有效的结果。

其他回答

经济奇谈

换元积分法（Integration By Substitution）是求积分的一种方法，主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c