三次方程有理根怎么求

问题描述

精选答案

求解三次方程的有理根问题比较复杂。

事实上，三次和更高次方程的一般有理根问题尚未得到完全解决。对于一般的三次方程，我们通常无法找到一个通用的方法直接求出它的所有有理根。然而，有些特殊情况下，我们可以尝试使用各种技巧来求解有理根。

1. 因式分解法：首先尝试对三次方程进行因式分解，看看是否可以将其分解为两个一次式的乘积。如果可以，那么分解后的一次式对应的根可能是有理根。

2. 试除法：对于某些特定的三次方程，可以尝试使用试除法来找寻有理根。具体方法是将方程改写为 $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ 的形式，然后尝试将 $pm1$, $pm2$, $pm3$, ... 分别代入方程，观察是否有可能成为根。

3. 使用数值算法：如果以上方法都无法找到有理根，可以考虑使用数值算法来寻找有理根的近似值。例如，可以使用牛顿法（Newton's method）或者迭代法来求解。但请注意，这种方法只能找到近似解，而无法保证找到的有理根是精确的。

4. 使用代数数论方法：在某些特殊情况下，可以使用代数数论方法（如求根公式、求解离散对数方程等）来寻找三次方程的有理根。然而，这些方法通常比较复杂，适用于特定的问题背景。总之，求解三次方程的有理根问题并没有通用且简单的方法。在实际问题中，我们通常需要根据具体情况采用不同的策略和技巧来尝试求解。

其他回答

会计交流

解这个问题步骤分为三步：

1。将一般方程化为缺项的三次方程

2。解缺项的三次方程

3。解的确定

例如y^3+a1y^2+a2y+a3=0

令y=x-a1/3

得x^3+px+q=0 (p,q为含a1,a2,a3 的数）

引进u,v,令x=u+v,得：

（u+v)^3+p(u+v)+q=0

展开第一项并合并得：

u^3+v^3+q+3uv(u+v)+p(u+v)=0

即（u^3+v^3+q)+(u+v)(3uv+p)=0

∵u+v=x≠0

不妨设左边两项均为零

即3uv+p=0，u^3+v^3=-q

→u^3×v^3=-p^3/27

把u^3与v^3看为z^2+qz-p^3/27=0的解

得z=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^1/2, 令D=q^2/4+p^3/27

得u=(-q/2+D^1/2)^1/3,v=(-q/2-D^1/2)^1/3

得x=u+v=(-q/2+D^1/2)^1/3+(-q/2-D^1/2)^1/3

因为三次方程有三个复根，

根据w=-1/2+3^1/2/2i w^3=1

令u2=u1×w,u3=u1×w^2;v2=v1×w,v3=v1×w^2

可得x1=u1+v1,x2=u2+v2,x3=u3+v3

至此，任意三次方程解毕。