三次方程的实根为什么只可能有一个或三个

问题描述

精选答案

对于形如ax³+bx²+cx+d=0的三次方程，实根的数量取决于系数a、b、c和d的符号。

1. 如果系数a、b、c和d不全为零，那么实根的数量至少有1个。这是因为，如果x=0，那么方程退化为a³+b²+c²+d=0，是一个二次方程，其解为一个实数。

2. 如果系数a、b、c和d中有三个不为零，那么实根的数量可能有1个、3个或没有实根。这是因为，对于任何一个实数x，都可以通过以下方式与另外两个实数相乘得到一个三次方程：x³+ax+b=0，其中a、b、c和d都不为零。这样，x³+ax+b=0可以被表示为三个实根的形式：x³+ax+b=0，x³+ax+b=0，x³+ax+b=0。所以，实根的数量可能有1个、3个或没有。总之，实根的数量既可以有1个，也可以有3个，或者可能没有。这取决于系数a、b、c和d的符号。

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三次方程的实根只可能有一个或三个。

解释原因：这是因为三次方程的图像形状是一个类似“S”型的曲线，而从图像上可以看出，这个曲线最多与x轴相交三次（有可能相交一次或两次，也有可能不相交），因此实根只可能有一个或三个。

内容延伸：三次方程是一种高阶多项式方程，求解其实根是数学中的一个经典难题。在解题过程中，我们需要运用代数学、函数分析等多种数学方法，对方程的性质及其图像进行全面分析，从而得出实根的个数。这也告诉我们，数学是一门需要全面思考和分析的学科，需要我们不断学习和探索，才能更好地理解和应用其中的知识。

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三次方程的实根只可能有一个或三个，这是因为三次方程在复数域内总会有三个根，但是在实数域内，有可能存在三个实根，也有可能只存在一个实根或者没有实根。我们可以利用狄利克雷原理来证明这一点。同时，三次方程的求解需要使用到复数，因此在实数域内可能存在实根缺失的情况。狄利克雷原理是指，如果在一个区间上有n个连续的实数，而在另一个区间上有m（m<n）个连续的实数，则在这两个区间的交集上至少存在一个实数。利用这个原理，我们可以证明三次方程的实根只可能有一个或三个。

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三次方程的实根只能有一个或三个，这个结论是由数学家Gerolamo Cardano在16世纪中期证明的。这个结论的证明涉及到关于根的对称性和符号的不等式处理技巧，较为繁琐，不便在此一一列举。

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三次函数与x轴最多只有三个交点,则三次方程最多只有三个实数根.

1、aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）的方程是一元三次当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

2、因为 ax³+bx²+cx+d 一定可以写成a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 的形式 当实数范围内时 x1 x2 x3不等的时候 最多有3个实根！

3、三次函数与x轴最多只有三个交点，则三次方程最多只有三个实数根。