什么时候三角形的中线等于斜边的一半

问题描述

精选答案

【直角】三角形斜边中线等于斜边的一半。

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。 【证法1】 延长AD到E，使DE=AD，连接CE。 ∵AD是斜边BC的中线， ∴BD=CD， 又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等）， AD=DE， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴AB=CE，∠B=∠DCE， ∴AB//CE（内错角相等，两直线平行） ∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠BAC=90°， ∴∠ACE=90°， ∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA， ∴△ABC≌△CEA（SAS） ∴BC=AE， ∵AD=DE=1/2AE， ∴AD=1/2BC。 【证法2】 取AC的中点E，连接DE。 ∵AD是斜边BC的中线， ∴BD=CD=1/2BC， ∵E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边） ∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等） ∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。 【证法3】 延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。 ∵AD是斜边BC的中线， ∴BD=CD， 又∵AD=DE， ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵∠BAC=90°， ∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）， ∴AE=BC（矩形对角线相等）， ∵AD=DE=1/2AE， ∴AD=1/2BC。