如何证明角平分线成比例定理

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精选答案

角平分线定理证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD。∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C，∴∠ABD=∠ACD=90°。又AD=AD，∴△ABD≌△ACD。∴CD=BD。角平分线定理是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线

其他回答

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角平分线成比例定理即角平分线性质定理，此定理的证明用面积法比较简单。

已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，D∈BC.

求证：AB/AC=BD/DC.

证明:∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BDA=∠ADC，

∴Sᴀʙᴅ/Sᴀᴅᴄ=(½AB×ADsin∠BDA)/(½AD×ACsin∠ADC)=AB/AC.

又∵Sᴀʙᴅ/Sᴀᴅᴄ=BD/DC，

∴AB/AC=BD/DC.