三角函数的定义如何由锐角过渡到任意角

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精选答案

用三角函数的诱导公式例如sin150°=sin（180°-30°）=sin（90°+30°）在初中，我们学过三角函数的基础定义可以看到，三角函数只在直角三角形中有定义，意味着三角函数角只能取锐角，这也是为什么初中三角函数叫锐角三角函数的原因。

而真正的三角函数远远不止锐角这么狭义，三角函数的角度的取值能被推广到任意角！120°、105°、270°等角度的三角函数值均是可求的，这也让三角函数真正成为一种解题的工具应用在数学中，而不是初中那样只是把比例换了一种表达方式。在初中，我们学过一些特殊角的三角函数值，这个是有用的，并且在后续任意角三角函数学中的应用也十分广泛sin30°＝0.5告诉我们，在直角三角形中，30°角所对边等于斜边一半，一个很经典的结论。但好像初中三角函数能告诉我们的也就只有这么多了，并没有什么特别大的作用。下面，我们仿照初中三角函数的定义拓展定义一下任意角的三角函数：先把初中的三角函数定义转化为平面直角坐标系的形式（α∈R等于是在说α角是任意角）很显然三角函数值不会随着P点的滑动而改变（因为相似比值一样），建立平面直角坐标系之后我们成功的把三角函数的定义转化成了坐标形式，众所周知，用边来定义三角函数必须是非负的，而用坐标来定义三角函数可能会产生负数。这就是锐角三角函数和任意角三角函数最大的不同。由于P点无论在射线OP上的哪里，三角函数值都一样，我们不妨令OP＝1，这样定义中的分母就可以消掉了我们规定，射线OP逆时针旋转时与x轴正半轴形成的夹角α为正角，OP射线顺时针旋转时与x正半轴形成的夹角α为负角。那么随着射线OP旋转360°（不论顺时针还是逆时针）时，P点的运动轨迹形成了一个半径为1，圆心在原点的圆，这个圆我们称为单位圆（初中生请忽视弧度，用不到）另外因为tanα＝y/x所以x不能为0，这就是为什么tan90°不存在的原因等等

其他回答

快学课堂建造师

初中的三角函数只定义到0到90度,怎么过度到任意角了,

首先告诉学生,初中所学的只是我们现在的特殊情况,

小范围如何推广到大范围呢

在坐标系下画一个单位圆,再画一个角的终边,过单位圆与角的终边的交点P作x轴的垂线去创建

一个直角三角形,在三边上写上汉字,对,邻,斜三个字,写sina=对/斜,

再慢慢地过渡到y,

强制地把对看成y,邻看成x,斜看成r,

再改变一下角的位置,回到初中,学生一目了然,这样高版本就支持了低版本了.