为什么一阶偏导连续一定可微

问题描述

精选答案

1、偏导数连续是可微分充分条件，但不是必要条件。

2、比如下面这个函数f(x,y)，函数的表达式为当x,y均为有理数时f(x,y)=x^2+y^2；当x,y中有一个变量为无理数时f(x,y)=0。

3、考虑这个函数在（0,0）处的微分，显然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a，其中a的表达式为：当⊿x,⊿y都是有理数时，a=⊿x^2+⊿y^2；当⊿x,⊿y中有一个无理数时a=0。

4、所以a为√⊿x^2+⊿y^2的高阶无穷小，这也就说明了函数f(x,y)在（0,0）是可微的。

5、根据导数定义可以证明函数f在（0,0）处对于x和y的偏导数都等于0。

6、在除（0,0）以外的所有有理数组点的偏导数都是不存在的，因为当x,y为有理数，⊿x以无理数方向趋于0时，⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2，所以⊿f/⊿x的极限不存在。

7、所以f在（0,0）的任意一个领域内导数不满足连续条件，但f可微，所以那只是充分而非必要条件。

8、可微必定连续且偏导数存在；连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续；连续未必可微，偏导数存在也未必可微；偏导数连续是可微的充分不必要条件。