农历中的数学小知识

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公历中的闰法我们现在使用的历法为国际通用的公历，又称阳历。

公历有平年和闰年之分，平年有365天，其中二月有28天，闰年366天，其中二月有29天。公历中的闰法对闰年是这样规定的“四年一闰，百年少一闰，四百年加一闰”。为什么公历中要安排复杂的闰法呢？其实这是由地球围绕太阳公转决定的。我们知道，地球绕太阳公转一圈的时间为365天5时48分46秒，而平年仅有365天，剩余的5时48分46秒是二者之间的误差，需要折算成天数，通过加闰的办法，即在二月份加一天，就可将积累的误差吸收掉。以天为单位，用分数的形式表现这个误差为：a＝5/24＋48/24×60＋46/24×60×60=10463/43200≈0.2421991。从这个分数算式可以看出，在43200年中，需要安排10463个闰年，而消除误差最好是均匀加闰，但却不便操作和记忆。如果我们用连分数即可提供方便记忆的闰法。运用辗转相除法很容易得到误差a的连分数表示式为：a＝10463/43200＝1/4＋1/7＋1/1＋1/3＋1/5＋1/64。由连续式可以看出，第一个渐进分数a1=1/4=0.25，说明每隔四年就应该加一天，这就是所谓的“四年加一闰”。由于它是个近似值，而不是精确值，因此还需要修正。第三个渐进分数为a3＝1/4＋1/7＋1/1＝8/33≈0.2424242……说明每隔33年就需要加8天，每隔99年需加24天就比较与实际接近。因此100年（与99近似）中应加24天，而不是加25天。这就是“百年少一闰”。如果始终按每100年加24天，那么43200年就应加432x24=10368（天）。由a＝10463/43200可以知道，经过43200年，就应该加10463天，这就比实际少加了95天，所以，闰法又有了“四百年加一闰”的修正。但是，按照这种规定，就可以算出43200年共加了10463天，比实际又多增加了13天，这又意味着每隔3323年就又多加了一天。而这些还需做进一步的修正。从以上的介绍可以看出，现在使用的历法，其精确度是相当高的，但仍需要进行随时修正，而这一切，均与数学密不可分。农历中的“十九年七闰”中国从古代一直沿用的历法为农历，它是由月球绕地球公转决定的。农历中的一个月，称为“朔望月”，约为29.5306天。由于地球绕太阳公转一周需要365.2422天，因此在一个公历年中应该设置“农历月”的个数为：365.2422/29.5306＝12＋10.8750/29.5306从这个算式可以看出，如果每个农历年均设有12个月，那么就会产生a=10.8750/29.5306=0.3682621的误差。要想把这种积累的误差消除掉，就必须在农历年份中增加一个月，这个月就是闰月，这个年就称为闰年。那么，怎样增插闰月呢？这就需要先求出a的连分数表示式：a＝1/2＋1/1＋1/2＋1/1＋1/1＋1/16＋1/1＋1/5＋1/2＋1/6＋1/2＋1/2从上面的表示式可以看出，它的前六个逐次渐近分数依次为：a1＝1/2≈0.5，a2＝1/3≈0.3333333，a3＝3/8≈0.375，a4＝4/11≈0.3636364，a5＝7/19≈0.3684211，a6＝116/315≈0.368254。由此可得，a2＜a4＜a6＜a＜a5＜a3＜a1。这表明这些渐进分数是从左、右两个方向向a的真值逼近的。朔望月的形成这些渐进分数所表达的实际意思是：2年1闰太多，3年1闰太少，8年3闰太多，11年4闰太少，19年7闰太多……但是其精确度却在逐渐提高。如果采用315年116闰的话，其精确度肯定会更高些，但具体制定起来难度非常大，因此，既能比较精确，又能方便制定的闰法当然要数“19年7闰”了。与公历闰年不同的是，农历中闰年的设置不像公历那样有简单的规律。它的设置与一年中的二十四节气紧密关联，因而就会使得农历年份中有的年份没有立春，有的年份却有两个立春。事实上，我国的农民安排农耕农种，其依据是二十四节气，因此二十四节气才是真正的农历。

其他回答

明说IT

农历是一种阴阳历，其月份分为大月和小月，大月为30天，小月为29天。而其年份则分为平年和闰年，闰年比平年多出一个月。这个闰年不是简单地增加一天，而是增加一个月。

这种历法的设计，是基于对月亮绕地球一周的时间和地球绕太阳一周的时间的精确计算。一个朔望月（即月亮绕地球一周的时间）的平均时间为29.5306天，而一个回归年（即地球绕太阳一周的时间）的平均时间为365.2422天。

为了使农历年和太阳年保持一致，就需要设置闰月。具体来说，十九个回归年中会有七个闰月，而剩下的十二个年份则是平年。这样，十九个农历年（包括七个闰月）的总天数就等于19×365.2422+7×30=6939.6910天，与十九个朔望月的总天数（19×29.5306=560.0754天）相近。

因此，通过精确的计算和设计，农历能够保持与太阳年的同步，同时又保留了对月亮的观察和记录。这也是中国古代数学和天文学高度发达的体现。