奔驰定理垂心证明过程

问题描述

精选答案

三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.。

其性质包括：

1. 三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2.垂心外心内心三心共线.。

3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

已知：ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立!

这里不方便画图,我就用文字来表达了。

画任意一个三角形ABC,垂心为D,外心为E,设B垂AC于F,

C垂AB于H,做△ABC的外接圆,ABC为三顶点abc为三内角

S为△ABC的面积

由正弦定理AB/sinc=BC/sina=AC/sinb=2R

由图像得∠c=∠BEH

∴EH=Rcosc=AB/(2tanc)

CD=CF/cos∠ACH=BCcosc/(CH/AC)=AC*BC*cosc/CH

AC*BCsinc/2=S=AB*CH/2

代入上式得CD=AB/tanc=2DH。