偏导有什么用

问题描述

精选答案

导数具有什么作用，偏导数就具有什么作用。

偏导数的功用比导数还要有更多的应用价值。

一、导数的概念：

在英国，导数喜欢用 differentiation；

在美国，导数喜欢用 derivative。意义上没有差别。

求导： 都是 differentiate；

可导、可微： 都是 differentiable；

可导性、可微性：都是 differentiability 。

导数 dy/dx，在几何图形上，是斜率的意思。是 y 随着 x 的变化而变化的“比率”；

导数 dy/dt，在运动学上，是速度的意思，是 y 随着时间 t 的变化而变化的“比率”；

导数 dx/dt，在运动学上，是速度的意思，是 x 随着时间 t 的变化而变化的“比率”。

dy/dx，读成 d y over dx；dy/dt，读成 d y over d t (d x d y d t 都按字母读)

国内的普遍嗜好是，将 dy/dx 写成 y‘，读成 y prime。

上面是按符号读音，出题时，不是 find the dy/dx，就是 differentiate with respect to x

= 对 x 求导，缩写是 differentiate y w.r.t. x. = 求 y 对 x 的导数。

在中文中，导数有两个含混不清的意思：

1、函数的导函数，这是一个新的函数；

2、函数在某点的斜率的值，或导函数在某点的具体值，是一个具体的数字。

二、偏导数的概念：

前面讲的是一元函数的求导，导数就是函数随着自变量的变化而变化的“变化率”。

dy/dx 是 rate of change of y with respect to x；

dy/dt 是 rate of change of y with respect to t。

通常，我们习惯于将 Rate of change = Related rate of change = 相关变化率

用于对时间 t 求导。

当一个函数有两个或两个以上的各自独立的自变量时，如 u = f(x, y, z)，

x, y, z 各自的变化都会引起 u 的变化。

∂u/∂x：表示由于 x 的单独变化所引起的 u 变化率(rate of change)；

在空间几何上，表示 u 沿着 x 方向的导数，也就是斜率；

也就是在平行于 y-z 的所有平面上看函数 u(x,y,z) 随着x变化的规律。

在意义上等同于 dy/dx；

由于有几个自变量，为了与一元函数做出区别，把 dy/dx 写成了 ∂u/∂x；

∂u/∂x 读成 partial u over partial x，整体意义是 partial differentiation w.r.t. x。

对 x 求偏导时，将 y、z 当作常数。

可以理解成局部变化率，部分变化率，也就是只随着一个变量的变化率。

∂u/∂y、∂u/∂z：类推。