极限趋近于零的时候，极限存不存在

问题描述

精选答案

修改：我大概知道题主是什么意思了。

题主的意思是：函数f(x)在无穷远处有极限，且导函数f'(x)在无穷远处(的极限)也存在，那么f'(x)在无穷远处的极限是0么 如果这么理解，这句话是真命题。用反证法。设x趋近于正无穷时，lim f(x)=c，lim f'(x)=k，其中c和k是常数。假设f'(x)在无穷远处极限不是0，即k≠0设g(x)=1/x，h(x)=f(x)/x则有h'(x)/g'(x)=f(x)-xf'(x)且有lim h(x)/g(x)=lim f(x)=c根据洛必达法则，有lim h'(x)/g'(x)=c注意洛必达是要满足三个条件的。第一，x趋于无穷时h(x)和g(x)趋于0。第二，x>N时h'(x)和g'(x)都存在且后者不等于0。第三，lim h'(x)/g'(x)存在或为无穷大。第一第二是显然满足的。根据k≠0，得到lim h'(x)/g'(x)=lim f(x)-xf'(x)=c–k·lim x是无穷大，所以第三也是满足的。因此这里可以使用洛必达。而 lim h'(x)/g'(x)=c 与 lim h'(x)/g'(x)是无穷大 这二者是矛盾的。因此原假设不成立，故k=0