等比数列中的等距离求和

问题描述

精选答案

以下n、k、m为下标（项数)。

若有等比数列{an}，则an×am=a（n+k）×a（m-k）。（m-k≥1，n、m、k∈N*）例如a1×a5=a2×a4=a3×a3（即（a3）²）。下面给出证明：an为等比数列，则有an=a1×q^（n-1）。an×am=a1×q^（n-1）×a1×q^（m-1）=a1²×q^（m+n-2）。a（n+k）×a（m-k）=a1×q^（n+k-1）×a1×q^（n-k-1）=a1²×q^（m+n-2）。显然两者相等，命题成立。