如何利用正弦和余弦两角和公式推倒正切的两角和公式

问题描述

精选答案

我们可以通过以下步骤来推导正切的两角和公式：

1. 根据正弦和余弦的两角和公式，我们有：

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

2. 将两个式子除以cos(a)cos(b)，得到：

= (sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))/(cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))

3. 对分式右侧进行化简，得到：

tan(a+b) = [(sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)) / cos(a)cos(b)] / [(cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)) / cos(a)cos(b)]

其他回答

网络经济分析师

第一步：根据正切公式，写出正切两角和差对应的正余弦表示公式。

第二步：将正余弦对应的两角和差公式代入。

第三步：等式右边凑成正切形式。

由于等式右边是正弦或余弦形式组成的各项，但是等式左边是正切，而正切是正弦除以余弦，所以为了让等式右边也出现正切，等式右边的分子分母需要同时除以余弦。

分子分母各项同时除以cosαcosβ,得到：

通过约分和正切等于正弦除以余弦，我们得到右边都是正切形式的公式形式：

这样根据正弦余弦的两角和差公式，我们就推导出了正切的两角和差公式。

用此法同样可以推导出来的两角和差公式，只不过在把正弦和余弦的两角和差公式代入后，分子分母各项同时除以的数不再是cosαcosβ，而是sinαsinβ,因为此时要凑成的是余切的形式而不是正切的形式。

以上是介绍如何根据正弦和余弦的两角和差公式推导出正切和余切的两角和差公式。但是我们在具体运用公式时不可能再一步步推导，否则耗时费力。

那么如何快速记忆公式呢？

关键还是在分子分母形成的正弦和余弦身上。

拿正切的两角和差公式来说吧。

“正切”表明分子是“正弦”、分母是“余弦”，所以根据“正异同，余同异”，我们就可以写公式了。

只不过这时由于都已经转换成了正切的形式，所以写的时候不能再写正弦或余弦了。

比如tan(α+β)根据分子是“正弦”，所以可以直接写成tanα+tanβ。（想象为什么可以直接这么写）

根据分母是“余弦”，所以分母可以直接写成1-tanatanβ。为什么呢？

因为根据是正切公式，我们是凑正切的形式，也就是正弦除以余弦。而根据余弦的两角和差公式，首相全部是余弦，无法凑成正切，所以直接写成1（根据推导过程指导是由于自身相约），后项都是正弦，所以可以直接用对应正切替代。

用此法也可以直接写出正切的两角差的公式和余切的两角和差公式。

为何再三强调正切公式分子分母对应的正弦或余弦，这是为了确定符号以及正切或余切的替代书写。比如说余切的两角和差公式中分子是余弦的两角和差公式，而余切是余弦除以正弦，所以分子中全部是正弦形式的项就直接替换成1就可以了。

其他回答

税务筹划好帮手

这个推导过程也很容易，就是把正切的两角和转换成分式，即两角和的正切等于两角和的正弦除以两角和的余弦，然后再将分子和分母划成它们的展开式，最后将分子和分母同除以同一个因式两角的余弦之积，就得到了两角和的正切公式。

其他回答

电气小青年

两角和与差的正弦余弦正切公式的推导：设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM。

过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα。