如何求收敛半径

问题描述

精选答案

求解收敛半径的方法通常是使用根值测试（root test）或比值测试（ratio test）。

假设 $a_n$ 是一个数列，收敛半径 $R$ 定义为：

R =

lim_{n

o

infty}

left|

frac{a_{n}}{a_{n-1}}

right| =

lim_{n

o

infty}

sqrt[n]{

left| a_n

right|}R=n→∞lim∣∣an−1an∣∣=n→∞limn∣an∣

其中第二个等式是根据根值测试得到的。如果 $R = 0$，则数列是绝对收敛的；如果 $R =

infty$，则数列是发散的；如果 $0 < R <

infty$，则数列是绝对收敛的，并且有以下性质：

当 $|x| < R$ 时，级数 $

sum_{n=1}^{

infty} a_n x^n$ 收敛；

当 $|x| > R$ 时，级数 $

sum_{n=1}^{

infty} a_n x^n$ 发散；

当 $|x| = R$ 时，级数 $

sum_{n=1}^{

infty} a_n x^n$ 的敛散性需要单独讨论。

在实际计算中，通常使用以下步骤来确定收敛半径：

使用根值测试或比值测试计算出极限 $R$；

根据 $R$ 的大小来判断级数的敛散性。

需要注意的是，这种方法只适用于幂级数或冪級数的情況。对于其他类型的级数，需要使用其他方法来确定收敛半径。