高一数学零点定理

问题描述

精选答案

一、零点的定义与判定定理

1、函数零点的定义：对于函数 y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

3、函数零点的分类

(1) 变号零点：零点附近两侧的函数值异号

(2) 不变号零点：零点附近两侧的函数值同号

4、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)⋅f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

5、判断函数零点个数的常用方法

(1) 解方程f(x)=0，方程f(x)=0的不同解的个数就是函数f(x)零点的个数。

(2) 直接作出函数f(x)的图象，其图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点的个数。

(3) 化函数的零点个数问题为方程g(x)=h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y=g(x)和y=h(x)的图象，两函数图象的交点个数就是函数f(X)的零点的个数。

(4) 若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在性定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调。

二、零点的定义相关例题

判断函数f(x)=x−3+ln x的零点个数___

只有一个零点

解析：令x−3+ln x=0，则ln x与y=−x+3的图像只有一个交点，即函数f(x)=x−3+ln x只有一个零点。