质心、形心的公式是什么

问题描述

精选答案

在解析几何中，一个图形的质心和形心是两个重要的特殊点，它们用于描述和计算图形的几何特征。对于平面图形，它们的公式如下：

1. 质心：平面图形的质心是图形内所有点的平均位置。对于平面上的点集$S$，其质心$(

overline{x},

overline{y})$的计算公式为：

$$

overline{x} =

frac{1}{n}

sum_{i=1}^n x_i,

qquad

overline{y} =

frac{1}{n}

sum_{i=1}^n y_i$$

其中$n$为点集$S$中点的个数，$(x_i,y_i)$为第$i$个点的坐标。

2. 形心：平面图形的形心是已知密度分布后的质心。对于密度函数为$

rho(x,y)$的平面图形，其形心$(

overline{x},

overline{y})$的计算公式为：

$$

overline{x} =

frac{

int_S x

rho(x,y)dA}{

int_S

rho(x,y)dA},

quad

overline{y} =

frac{

int_S y

rho(x,y)dA}{

int_S

rho(x,y)dA} $$

其中$S$为图形，$dA$为面积元素。

需要注意的是，质心和形心的计算公式在三维空间中也有类似的形式，只是需要将二维平面上的坐标改为三维空间中的坐标，并将面积元素$dA$改为体积元素$dV$。