复数的指数形式是怎么得出来的

问题更新日期：2024-11-10 05:47:23

问题描述

精选答案

复数的指数形式是基于欧拉公式(Euler's formula)得出的。欧拉公式是数学中的一项重要公式，它将复数、三角函数和指数函数联系在一起。

欧拉公式的表达式如下：

e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)

其中，e代表自然对数的底，i是虚数单位，x是实数。

利用欧拉公式，我们可以将复数写成指数形式，即：

z = a + bi = r * e^(iθ)

其中，a和b是实数部分和虚数部分，r是复数的模（即绝对值），θ是复数的辐角（即幅角）。

根据上述公式，我们可以将复数表示为一个模长和一个相位角的指数形式，这使得复数的运算更加方便。指数形式还与复数的乘法和幂运算等操作有着简洁的数学性质。

需要注意的是，指数形式中的角度θ可以有多个等价的表示，因为它们具有周期性。常用的等价表示方式是将θ限制在某个范围内，例如[-π, π]或[0, 2π]等。

希望这能解答你的问题！

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轻语说期货

根据欧拉公式:cosθ+isinθ=e^iθ,则复数可以写成z=re^iθ的形式,称为复数的指数形式,其中e是自然对数的底数,等于2.718281828……,是一个无理数。

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轻语说期货

复数的指数形式也叫极坐标形式。复数指数形式可以通过极坐标的方式来表示复数。

极坐标表示法的格式为：$$z=r(

cos

heta+i

sin

heta)$$

其中，$r$ 是复数的模，表示复数的距离；$

heta$ 是复数的辐角，表示复数的旋转角度，单位是弧度；$i$ 是虚数单位。

也可以使用欧拉公式来把复数写成指数形式：$$z=r

operatorname{e}^{i

heta}$$

其中，$

operatorname{e}$ 是自然常数，$

operatorname{e}^{i

heta}=

cos

heta+i

sin

heta$，即欧拉公式。

这种指数形式主要优点是它方便进行乘除、幂运算。例如，两个复数$z_1$和$z_2$相乘，即：$$z_1

imes z_2=r_1

operatorname{e}^{i

heta_1}

imes r_2

operatorname{e}^{i

heta_2}=r_1r_2

operatorname{e}^{i(

heta_1+

heta_2)}$$

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轻语说期货

复数指数形式：e^(iθ)=isinθ+cosθ，证明方法就是把e^(iθ)和sinθ，cosθ展开成无穷级数。

将复数化为三角表示式和指数表示式是：复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ，可以化为指数表示式z=r*exp(iθ)。

exp()为自然对数的底e的指数函数。即：exp(iθ)=cosθ+isinθ。 证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到，是复变函数的基本公式。

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB

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真话财经

推出过程如下：

对cos(x)和sin(x)分别进行无穷级数展开，将sin(x)的无穷级数乘以i，再与cos(x)的无穷级数相加，就会消去很多项，最终得到e^(ix)。

复数的指数形式证明方法就是把e^(iθ)和sinθ，cosθ展开成无穷级数，

e^(iθ)=1+iθ+(iθ)^2/2!+(iθ)^3/3!+........(iθ)^k/k!+..........

sinθ=θ-θ^3/3!+θ^5/5!+..............+(-1)^(k-1) [θ^(2k-1)/(2k-1)!]+.........

cosθ=1-θ^2/2!+θ^4/4!+...........+(-1)^(k-1) [θ^(2k)/(2k)!]+.........