求收敛半径要详细过程

问题描述

精选答案

收敛半径是指幂级数在哪个区间内收敛的半径。求幂级数的收敛半径的步骤如下：

1. 使用比值测试或根值测试来确定收敛半径。比值测试公式为：

$$

lim_{n

o

infty}

left|

frac{a_{n+1}}{a_n}

right|

$$

根值测试公式为：

$$

lim_{n

o

infty}

sqrt[n]{|a_n|}

$$

如果比值测试或根值测试的极限值为 $L$，那么收敛半径 $R$ 为：

$$

R =

begin{cases}

frac{1}{L} &

ext{如果 } L

eq 0

infty &

ext{如果 } L = 0

0 &

ext{如果 } L =

infty

end{cases}

$$

2. 如果收敛半径 $R$ 存在，那么幂级数在 $(-R, R)$ 内绝对收敛，即：

$$

sum_{n=0}^{

infty}a_nx^n

$$

在 $(-R, R)$ 内收敛。如果 $x =

pm R$，则需要进行额外的讨论，判断是否收敛。

3. 如果比值测试或根值测试不能确定收敛半径，可以使用其他测试方法，如 Abel 测试、Dirichlet 测试等。

4. 如果幂级数不收敛，那么收敛半径为 $0$；如果幂级数在整个实数轴上都收敛，那么收敛半径为 $

infty$。

以上就是求幂级数收敛半径的详细步骤。

其他回答

电气科技知识

求收敛半径的过程如下：

1、先写出幂级数形式的函数；

2、代入柯西-阿达玛公式，求出收敛半径的值；

3、在判断端点收敛性，可以使用比值判别法、根号判定法等方法来求解；

4、如果存在发散点，则需要使用反演求解方法（如考虑积分余项），并判断其是否仍存在收敛域内，来确定收敛半径。是：求收敛半径需要根据幂级数形式的函数，代入柯西-阿达玛公式，以及判别法等方法来求解，具体步骤如上所述。

其他回答

小白看图学财经

求收敛半径过程非常详细首先，假设有幂级数∑a_n(z-z_0)^n，并把其写成Dirichlet形式∑(a_n/R^n)(z-z_0)^n，求出此级数的收敛半径R，只需要先根据柯西-阿达玛公式求出R_limsup⁡(n→∞)|a_n|^(n)，再根据柯西-哈密顿公式求出R_limsup⁡(n→∞)|a_n|^(n)，那么此幂级数的收敛半径R=min⁡(R_R_其中，limsup表示数列极限的上确界对于幂级数的收敛半径的求解过程需要对多个公式进行运用，并联合考虑多种数学技巧和推导证明，因此其过程比较详细、复杂