导数的第一定义式的用法

问题描述

精选答案

通俗来说，导数就是在求某一时刻的瞬时变化率，它的表达形式如下:

当我们把x的增量广义化之后我们还可以得出下面这个等价公式:

一、导数第一定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义

二、导数第二定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数

数学解读这个定义是这样的：令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则

lim(△x->0)(△y/△x)=lim(△x->0)(f(x0+△x)-f(x0))/△x=f'(x0). 这个公式可以看作是导数定义式的另一种形式。

所以导数是函数增量△y与自变量增量△x之比△y/△x的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率