高考数学复数公式

问题更新日期：2024-11-02 13:06:53

问题描述

精选答案

高考数学中常用的复数公式有：

1. 模长公式：对于复数 $z=a+bi$，它的模长可以表示为 $|z|=

sqrt{a^2+b^2}$。

2. 共轭复数公式：对于复数 $z=a+bi$，它的共轭复数可以表示为 $

overline{z}=a-bi$。

3. 乘法公式：对于两个复数 $z_1=a_1+b_1i$ 和 $z_2=a_2+b_2i$，它们的乘积可以表示为 $z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$。

4. 指数公式：对于复数 $z=a+bi$，它的指数可以表示为 $e^z=e^{a+bi}=e^ae^{bi}=e^a(

cos b+i

sin b)$。

5. 欧拉公式：对于任意实数 $x$，欧拉公式可以表示为 $e^{ix}=

cos x+i

sin x$。

应用举例：

1. 求复数 $z=2+3i$ 的模长：$|z|=

sqrt{2^2+3^2}=

sqrt{13}$。

2. 求复数 $z=1+2i$ 的共轭复数：$

overline{z}=1-2i$。

3. 求复数 $z_1=1+2i$ 和 $z_2=3+4i$ 的乘积：$z_1z_2=(1

imes 3-2

imes 4)+(1

imes 4+2

imes 3)i=-5+10i$。

4. 求复数 $z=2+3i$ 的指数形式：$z=2+3i=

sqrt{13}(

frac{2}{

sqrt{13}}+

frac{3}{

sqrt{13}}i)=

sqrt{13}e^{i

arctan(

frac{3}{2})}$。

5. 利用欧拉公式，将复数 $z=1+i$ 写成三角形式：$z=

sqrt{2}(

frac{1}{

sqrt{2}}+

frac{1}{

sqrt{2}}i)=

sqrt{2}(

cos

frac{

pi}{4}+i

sin

frac{

pi}{4})$。

其他回答

英语时代

复数公式是指描述有实数部分和虚数部分的数学数量关系的数学公式。在高考数学中，复数公式是一个非常重要的内容，涉及到复数的基本概念、运算规则、指数表示、三角形式等多个方面。其中常用的复数公式包括：

- $i^2=-1$，即虚数单位的平方等于-1；

- $z=a+bi$，表示一个复数，其中$a$为实部，$b$为虚部；

- $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$，表示两个复数的加法运算；

- $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$，表示两个复数的减法运算；

- $(a+bi)

imes(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$，表示两个复数的乘法运算；

- $

dfrac{a+bi}{c+di}=

dfrac{(a+bi)

imes(c-di)}{c^2+d^2}=

dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+

dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i$，表示两个复数的除法运算；

- $e^{i

heta}=

cos

heta+i

sin

heta$，表示欧拉公式，其中$e$为自然对数的底，$

heta$为实数；

- $z=r(

cos

heta+i

sin

heta)$，表示复数$z$的三角形式，其中$r$为模长，$

heta$为辐角。

这些复数公式对于高考数学中的解析几何、向量及三角函数等方面都有重要应用。

其他回答

教师发展分享

以下是高考数学中涉及到的复数公式：

1. $i^2=-1$

2. $z=a+bi$，其中 $a$ 表示实部，$b$ 表示虚部；

3. $|z|=

sqrt{a^2+b^2}$，$|z|$ 表示复数 $z$ 的模；

4. $

ext{arg}(z)=

heta$，$

heta$ 表示复数 $z$ 的辐角，其中 $-

pi<

heta

le

pi$，如果 $z$ 在 $x$ 轴以上，$

heta$ 的值为正数，如果在 $x$ 轴以下，$

heta$ 的值为负数；

5. 对于复数 $z_1=a_1+b_1i$，$z_2=a_2+b_2i$，有以下公式：

* $z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$

* $z_1-z_2=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i$

* $z_1

imes z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i$

* $

dfrac{z_1}{z_2}=

dfrac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+

dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i$

6. 共轭复数：$z=a+bi$ 的共轭复数为 $

overline{z}=a-bi$，即保留实部不变，虚部取相反数；

7. 模的乘法公式：$|z_1

imes z_2|=|z_1|

imes|z_2|$

8. 辐角的加法公式：$

ext{arg}(z_1

imes z_2)=

ext{arg}(z_1)+

ext{arg}(z_2)$

这些公式在复数的加减乘除以及求模和辐角时都会用到。

其他回答

英语时代

高中数学复数公式包括复数的加减法、乘法、除法、乘方、平方根和共轭公式。其中，复数的加减法公式为z1±z2=(a1±a2)+(b1±b2)i；

乘法公式为z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

除法公式为z1÷z2=(a1a2+b1b2)/(a2²+b2²)+[(a2b1-a1b2)/(a2²+b2²)]i；

乘方公式为z^n=(a^n-b^n)+(2ab)^(n-1)i；

平方根公式为z^1/2=±√(a²+b²)/2+[(a±b)/2]i；共轭公式为z*=a-bi。