两条切线交点怎么求

问题描述

精选答案

两个且点为A（a,a^2)、B(b,b^2)

对函数y=x^2求导,y'=2x

∴在点x=a和x=b处的切线的斜率分别为2a和2b

∴二切线的方程分别为y-a^2=2a(x-a)和y-b^2=2b(x-b)

即2ax-y-a^2=0……①

2bx-y-b^2=0……②

①b-②a :(a-b)y-ab(a-b)=0

∵a≠b

∴y-ab=0

又∵二切线互相垂直,∴2a.2b=-1即4ab=-1

代入上式得：二切线交点的轨迹方程 y=-1

设二切线交点为P（a,b）,切线斜率为k

则过点P的切线方程为 y-b=k(x-a)

次方程与y=x^2联立得x^2-kx+ka-b=0

则△=0 即 k^2-4(ka-b)=0 即 k^2-4ak+4b=0

∴k1.k2=4b (1、2是k的下标）

∵二切线互相垂直,∴4b=-1 即b=-1/4

∴P点轨迹是y=-1/4