函数复合过程的例子

问题描述

精选答案

复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。

1、已知函数f（g（x））的定义域→求函数f（φ（x））的定义域。

已知函数f（2x）的定义域为[-1，1]，求f（log2x）的定义域。

【解析】∵-1≤x≤1∴12≤2x≤2即f（x）的定义域为[12，2]。

∵12≤log2x≤2，∴2≤x≤4。

故f（log2x）的定义域为[2），（4]。

2、已知函数f（x）=（log4x-3）·log44x。

（Ⅰ）当x∈[14，16]时，求该函数的值域；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）+log4x2-2a·log4x，求g（x）在x∈[42，44]上的最值。

【解析】

（Ⅰ）f（x）=（log4x）2-2log4x-3，令t=log4x，则x∈[14，16]时，t∈[-1，2]，

此时有y=t2-2t-3，∴y∈[-4，0]。

（Ⅱ）g（x）=（log4x）2-2a·log4x-3，令t=log4x，则x∈[42，44]时，t∈[2，4]，

此时有y=t2-2a·t-3，

①当a≤2时，当t=2时，ymin=1-4a；当t=4时，ymax=13-8a。

②当2<a≤3时，当t=a时，ymin=-a2-3；当t=4时，ymax=13-8a。

③当3<a<4时，当t=a时，ymin=-a2-3；当t=2时，ymax=1-4a。

④当a≥4时，当t=4时，ymin=13-8a；当t=2时ymax=1-4a。

3、已知2x≤256且log2x≥12，求函数f（x）=log2x2·log2x2的最大值和最小值。

【解析】由2x≤256得x≤8，log2x≤3，即12≤log2x≤3，

f（x）=（log2x-1）·（log2x-2）=（log2x-32）2-14。

当log2x=32，f（x）min=-14，

当log2x=3，f（x）max=2。