怎么推导等比数列求和公式

问题描述

精选答案

一、等比数列求和公式

推导

由等比数列定义

a2=a1*q

a3=a2*q

a(n-1)=a(n-2)*q

an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q

即 Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q

当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/（1-q） (n≥2)

当n=1时也成立.

当q=1时Sn=n*a1

所以Sn= n*a1（q=1） ；(a1-an*q)/（1-q） (q≠1)。

二、等比数列求和公式推导

错位相减法

Sn=a1+a2 +a3 +...+an

Sn*q= a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q= a2 +a3 +...+an+an*q

以上两式相减得（1-q）*Sn=a1-an*q

三、等比数列求和公式推导

数学归纳法

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；

当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；

这就是说，当n=k+1时，等式也成立；

由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。