sin反函数求导过程

问题描述

精选答案

以y=arcsinx为例，来求反三角函数的求导过程。

（根据函数与反函数的导数关系来证明）

设函数x=siny，y∈(-π/2，π/2)，它的反函数记为为y=arcsinx，x∈(-1，1)

函数f=sinx，x∈(-π/2，π/2)上单调，可导。x'=cosy≠0，y∈(-π/2，π/2)

根据函数与反函数的导数关系

则（arcsinx）'=1/cosy

y∈(-π/2，π/2)时，cosy＞0

所以，

同理可以证明函数y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx的导数。

【补充】

函数与反函数的导数关系：

设y=f(x)在点x的某邻域内单调连续，在点x处可导且f'(x)≠0，则其反函数在点x所对应的y处可导，并且有

dx/dy = 1/(dy/dx)

其他回答

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2反三角函数的导数推导过程

其实很简单，就是利用dy/dx=1/(dx/dy)，然后进行相应的换元

比如说，对于正弦函数y=sinx，都知道导数dy/dx=cosx

那么dx/dy=1/cosx

而cosx=√ (1-(sinx)^2)=√(1-y^2)

所以dx/dy=√(1-y^2)

y=sinx可知x=arcsiny，而dx/dy=1/√(1-y^2)

所以arcsiny的导数就是1/√(1-y^2)

为了好看点，再换下元arcsinx的导数就是1/V(1-x^2)