关于间断点的定理

问题描述

精选答案

设f(x)f(x)在点x0x0的某去心邻域中有定义，

在这个前提下，如果f(x)f(x)有一下三种情形之一：

1、在x=x0x=x0处没有定义；

2、虽在x=x0x=x0处有定义，但limx→x0f(x)limx→x0f(x)不存在；

3、虽在x=x0x=x0处有定义，且limx→x0f(x)limx→x0f(x)存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)limx→x0f(x)≠f(x0)，

那么f(x)f(x)在点x0x0处为不连续，而点x0x0称为函数f(x)f(x)的间断点。

函数间断点通常分为两大类：第一类间断点和第二类间断点，左右极限都存在的间断点称为第一类间断点，其它的则都是第二类间断点。

函数间断点通常有以下几种常见类型：

1、无穷间断点；

2、震荡间断点；

3、可去间断点；

4、跳跃间断点，

下面对几种间断点进行详解：

1、无穷间断点

定义：函数f(x)f(x)在x0x0处没有定义，且在x0x0处的左右极限至少有一个不存在，则x0x0为f(x)f(x)的无穷间断点。

例：f(x)=tanxf(x)=tan⁡x在x=π2x=π2处没有定义，所以x=π2x=π2为f(x)=tanxf(x)=tan⁡x的间断点。

f(x)=tanxf(x)=tan⁡x在x=π2x=π2处既没有左极限也没有右极限，所以x=π2x=π2为f(x)=tanxf(x)=tan⁡x的无穷间断点。

2、震荡间断点

定义：函数f(x)f(x)在x0x0处没有定义，且在xx趋近于x0x0时其函数值在某个范围内无限次变动，则x0x0为f(x)f(x)的震荡间断点。

例：f(x)=sin1xf(x)=sin⁡1x在x=0x=0处没有定义，所以x=0x=0为f(x)=sin1xf(x)=sin⁡1x的间断点。

f(x)=sin1xf(x)=sin⁡1x在x→x0x→x0时，函数值在-1到+1之间变动无限多次，所以x=0x=0为f(x)=sin1xf(x)=sin⁡1x的震荡间断点。

3、可去间断点

定义：函数f(x)f(x)在x0x0处没有定义或定义点的函数值不能使f(x)f(x)成为一个连续函数，且若在x0x0处能通过补充定义使f(x)f(x)成为连续，则x0x0为f(x)f(x)的可去间断点。

例：f(x)=x2−1x−1f(x)=x2−1x−1在x=1x=1处没有定义，所以x=1x=1为f(x)=x2−1x−1f(x)=x2−1x−1的间断点。

但如果补充定义：令x=1x=1时f(x)=2f(x)=2，那么f(x)f(x)即成为了连续函数，所以x=1x=1为f(x)=x2−1x−1f(x)=x2−1x−1的可去间断点。

4、跳跃间断点

定义：f(x)f(x)在x0x0处有定义，且limx→x0f(x)limx→x0f(x)存在，但左右极限不相等，则x0x0为f(x)f(x)的跳跃间断点。

例：

f(n)=⎧⎩⎨x−1,0,x+1,x < 0x = 0x > 0

f(n)={x−1,x < 00,x = 0x+1,x > 0

当 x→0x→0时,

limx→0−f(x)=limx→0−(x−1)=−1

limx→0−f(x)=limx→0−(x−1)=−1

limx→0+f(x)=limx→0+(x+1)=1

limx→0+f(x)=limx→0+(x+1)=1

左右极限虽然都存在，但是不相等，所以极限 limx→0f(x)limx→0f(x)不存在， x=0x=0是 f(x)f(x)的间断点，

f(x)f(x)在 x=0x=0处产生跳跃现象，所以 x=0x=0为 f(x)f(x)的跳跃间断点。

其他回答

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间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。 间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。