计算函数的导数

问题描述

精选答案

1.有理运算法

即两个函数进行加减乘除后，对所得函数求导。这部分法则在解题时，需要理解记住。像上面对x^x进行求导时，这些法则不能适用，因为幂指函数不是两个函数进行有理运算得到的。

2.复合函数求导法

实质是对f(g(x))形式的函数进行求导，当我们将x^x写成e^xlnx时，不难看出，这个函数就是此种类型的复合函数，就可以应用以下方法进行计算了。

3.隐函数求导法

前面两种类型的函数，我们都可以写成等号一边是y，一边是x的多项式，便于求导。那么遇到y^2+xy+x^2=0，这种类型的函数又如何求导呢？一般这种类型是用隐函数求导法。就是将等号左边记为F(x,y)= y^2+xy+x^2，导数采用下式求解。

4.反函数求导法

如果y=f(x)可导，且f'(x)≠0，则其反函数x=g(y)在对应区间也可导。例如：

y=e^x，x=lny；

g'(x)=1/y=1/e^x=1/f'(x)。

5.对数求导法

对文章开头提到的y=x^x，采用对数求导法，即

对y=x^x两边取对数，

有lny=ln(x^x)=xlnx，两边同时求导有，

(1/y)y'=lnx+1，则y'=y(lnx+1)=x^x(lnx+1)。

这种方法可以简化运算，如下

取对数，lny=1/2[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)]。

采用对数求导法，可以很快去掉根号，并且将乘式转化为和式，极大地简化了运算。

其他回答

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要计算函数的导数，我们需要应用导数的定义和一些导数的性质。

给定函数f(x)，它的导数f'(x)表示函数在每一点的斜率或变化率。导数的计算可以通过以下步骤进行：

1. 使用导数公式：

这是一种直接应用导数定义的方法。如果函数f(x)可以表示为一个基本的函数（比如幂函数、指数函数、三角函数等）的组合，那么我们可以使用这些函数的导数公式来计算它们的导数。

2. 使用导数的性质：

如果函数是通过一系列基本函数的运算得到的，我们可以利用导数的性质来简化导数的计算。例如，利用和差、积、商等导数的性质可以简化计算过程。

3. 使用链式法则和其他导数的运算规则：

如果函数是由多个函数的组合而成的（如复合函数），我们可以使用链式法则来计算导数。链式法则表示了复合函数导数的计算规则。

总之，计算函数的导数需要理解导数的定义、导数的性质和导数的运算规则，并运用这些知识来进行具体的计算。