高数，定积分的概念和性质

问题描述

精选答案

定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等等。

以下是定积分的概念和性质：

1. 定积分的概念：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，则将[a,b]区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取任意一个小区间中点xi，构成新的区间[a,b]的分割，记Δx=max{Δx1,Δx2,...,Δxn}，则求和式∑f(xi)Δx在Δx趋于0时的极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫a^bf(x)dx。

2. 定积分的性质：(1) 可加性：设f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续，则有∫a^b[f(x)+g(x)]dx=∫a^bf(x)dx+∫a^bg(x)dx。

（2） 线性性：设f(x)在区间[a,b]上连续，k为常数，则有∫a^bkf(x)dx=k∫a^bf(x)dx。

（3） 区间可加性：设f(x)在区间[a,b]和[b,c]上连续，则有∫a^cf(x)dx=∫a^bf(x)dx+∫b^cf(x)dx。

（4） 积分中值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，则存在一个点c∈[a,b]，使得∫a^bf(x)dx=f(c)×(b-a)。

（5） 绝对值不等式：设f(x)在区间[a,b]上连续，则有|∫a^bf(x)dx|≤∫a^b|f(x)|dx。

（6） 积分比较定理：设f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≤g(x)，则有∫a^bf(x)dx≤∫a^bg(x)dx。以上是定积分的概念和性质，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用定积分。

其他回答

建造师考试真题宝典

定积分是指在一定区间范围内求出一个函数的积分值。具体地说，设$f(x)$是区间$[a,b]$上的连续函数，则在$[a,b]$上的定积分为：

$$

int_{a}^{b} f(x)

,

mathrm{d}x$$

定积分具有以下性质：

1. 可加性：设$[a,b]$和$[b,c]$是一个区间$[a,c]$的两个子区间，则有：

$$

int_{a}^{c} f(x)

,

mathrm{d}x=

int_{a}^{b} f(x)

,

mathrm{d}x+

int_{b}^{c} f(x)

,

mathrm{d}x$$

2. 线性性：设$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上连续，则有：

$$

int_{a}^{b} [cf(x)+g(x)]

,

mathrm{d}x=c

int_{a}^{b} f(x)

,

mathrm{d}x+

int_{a}^{b} g(x)

,

mathrm{d}x$$

3. 区间可加性：设$f(x)$在$[a,b]$和$[b,c]$上都连续，则有：

$$

int_{a}^{c} f(x)

,

mathrm{d}x=

int_{a}^{b} f(x)

,

mathrm{d}x+

int_{b}^{c} f(x)

,

mathrm{d}x$$

4. 积分中值定理：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则至少存在一点$c

in [a,b]$，使得：

$$

int_{a}^{b} f(x)

,

mathrm{d}x=f(c)

cdot(b-a)$$

其中，$f(c)$称为$f(x)$在$[a,b]$上的平均值。请问您需要继续什么内容？我可以为您提供帮助。

其他回答

国内教师联盟

定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题,必须通过“分割、近似、求和、 求极限”四个步骤完成,它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系,提供了解决定积分的一般方法。 要求解定积分,首先要找到被积函数的原函数,而求原函数是不定积分的内容。