导数与微分区别

问题更新日期：2024-04-29 04:32:37

问题描述

精选答案

导数和微分是微积分中的两个重要概念，它们有不同的定义和应用。

导数（Derivative）是微积分中一个非常基础和重要的概念。它描述了一个函数在某一点的变化率。具体来说，对于一个函数 y=f(x)y=f(x)，在点 xx 的导数表示为 f'(x)f′(x)，可以理解为当 xx 有一个微小的变化 Delta xΔx 时，对应的 yy 的变化量 Delta yΔy 与 Delta xΔx 的比值，即 f'(x)=lim_{Delta xo 0} frac{Delta y}{Delta x}f′(x)=limΔx→0ΔxΔy。当这个比值存在时，我们就称 f(x)f(x) 在点 xx 处可导。微分（Differentiation）是导数的另一种表达方式，它提供了在某一点附近的一种局部线性逼近。具体来说，对于一个函数 y=f(x)y=f(x)，在点 xx 的微分表示为 df(x)df(x) 或 f'(x)dxf′(x)dx，它可以表示为函数 f(x)f(x) 在点 xx 处的导数 f'(x)f′(x) 乘以一个微小变量 dxdx。这个微小变量 dxdx 可以理解为自变量的微小变化量。因此，导数是描述函数在某一点的变化率的概念，而微分则是一种局部线性逼近的表示方式。在应用上，导数可以用于描述函数的斜率、极值、曲线的切线等问题；而微分则更常用于求解函数的近似值、求函数在某一点的局部变化等问题。需要注意的是，在实际计算中，导数和微分有时可以互相转化。例如，通过微分的定义，我们可以推导出一些导数的计算公式，从而计算出函数在某一点的导数。同时，在一些应用中，我们也可以利用导数和微分的概念来研究函数的性质和解决问题。

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英语启蒙赵大胖

3. 概念范围差别：导数概念难以推广，比如多元函数只有偏导数而没有导数，而微分则有偏微分和全微分3。

4. 表示方式不同：导数用函数的导函数值表示，而微分用dy=f'(x)dx表示

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金融女王

对于一元函数y=f(x)而言，导数和微分没什么差别。导数的几何意义是曲线y=f(x)的瞬时变化率，即切线斜率。微分是指函数因变量的增量和自变量增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x)，这里可以把自变量x看成是关于自身的函数y=x，那么△x=△y,所以微分另一种说法叫微商，dy/dx是两个变量的比值。

对于多元函数，如二元函数z=f(x,y)而言，导数变成了关于某个变量的偏导数。此时，微分符号dz/dx是个整体，不能拆开理解。而且，有个重要区别，可导不一定可微。即可导是可微的必要非充分条件。但是，有定理，若偏导数连续则函数可微。具体看全微分与偏导数有关章节。

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中小学教师考试网

导数与微分是微积分中两个重要的概念，它们之间有以下区别：

1. 定义：导数表示函数在某一点的变化率，是函数的一个性质；微分表示函数在某一点的线性近似，是函数的一个近似值。

2. 概念：导数可以理解为函数在某一点的瞬时速度，即切线的斜率；微分可以理解为函数在某一点的增量，即函数值与切线的差值。

3. 计算方法：导数通过求极限的方式计算，通常使用导数的定义、求导法则或者导数表来计算；微分通过对函数进行线性逼近，使用微分公式直接计算。

4. 表示方式：导数用符号“f'(x)”或者“dy/dx”表示；微分用“df(x)”或者“dy”表示。

5. 应用：导数用于求解极值、刻画曲线的凸凹性和拐点等性质；微分用于求解近似值、线性化模型以及求解微分方程等问题。总的来说，导数和微分都是描述函数在某一点的性质，但导数更注重于变化率和切线斜率的表示，而微分更注重于函数值和切线的差值。

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英语启蒙赵大胖

导数和微分都是微积分中比较基础的内容，但它们是不同的概念。 导数是指一种数学运算，用来求解函数在某一点的变化率。也可以理解为函数图像在该点处的切线斜率。导数的计算公式是利用极限的概念求解的。 微分则是求解函数局部的变化量的方法。也可以理解为在某一点处的近似线性变化量。微分的计算通常需要使用导数。 总的来说，导数是一种数学运算，而微分则是一种数学工具，用于计算函数的变化量。两者之间有着密切的联系，并且通常会一起出现在微积分的问题中。