函数与波函数的关系

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精选答案

本征函数——完备单位正交基{e}波函数——空间中以{e}为基的向量v厄米算符——坐标向量空间中的一个线性变换厄米算符的标准矩阵表示——以{e}为基的对应该算符线性变换的标准矩阵(算符作用在基上)，满足性质厄米矩阵中矩阵元等于其伴随: Aij=(Aji)*。

因为{e}是原态空间中算符本征函数的坐标表示，所以在坐标空间中为算符对应线性变换的特征向量，因此坐标空间中算符对应线性变换的标准矩阵为对角矩阵，对角元为本征值。当然也可以换一组完备单位正交基{ε}(也可以不用单位正交)，为厄米算符的另一种矩阵表示。可作基变换，对角化为以{e}为基的标准矩阵表示。不管选择什么样的基，这些矩阵表示都是相似的，并相似于唯一的标准矩阵——以{e}为基的对角矩阵。对应到原态空间，是以本征函数为基的矩阵表示为对角矩阵，对角元为本征值。非本征函数为基的矩阵表示可对角化为该对角矩阵，也相当于做了基变换。在坐标向量空间里看，非简并情况下测量(线性变换)后体系的态(向量)投影到了其中一个基ei上。对应到原态空间就是投影到了其中一个本征函数上。该本征函数(基ei)所定义的坐标轴是态空间(坐标向量空间)中的一个子空间。简并的情况下则是投影到简并基所张成的子空间(特征向量空间)里，其投影为简并基的线性组合。

其他回答

俗心理工作室

函数描述了一个体系全部的信息，所有可能的波函数构成了一个希尔伯特空间（就是一个可以定义向量间内积的线性空间）。反过来说，希尔伯特空间里的任何一个波函数（以及任意波函数间的线性叠加）都可以描述一个粒子的状态。一个波函数就是这个空间里的一个向量，只是以坐标空间的basis写了出来而已。可是basis不影响物理实质！以下波函数=态矢量。

而可观测量用这个希尔伯特空间上厄米的线性映射（也就是一个厄米矩阵。但物理学家通常叫厄米算符）描述。原则上可以定义任意的厄米算符，而这个厄米算符对角化后会有一组本征态，各自对应一个本征值，各个本征值之间简并不简并都行。问题是，无论本征态长啥样，他显然都是希尔伯特空间里的向量，所以当然可以描述粒子状态啊！

哈密顿量H是一个特殊的可观测量，因为决定了体系的时间演化。他的本征态叫能量本征态，且在时间演化下始终不变，只差一个相因子。但任意的非能量本征态都可以用能量本征态做basis展开！展开完了之后每个分量上乘对应的e^-iEt相因子即相当于做了时间演化。