椭圆仿射变换原理及证明

问题更新日期：2024-04-18 22:18:04

问题描述

精选答案

一、定义

仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。

二、性质

同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线

其它不变关系

其他回答

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椭圆仿射变换是指将椭圆中的所有点通过一个仿射变换映射到另一个椭圆中。椭圆仿射变换可以用于计算机视觉、图像处理、图形学和模式识别等领域中的形状变换和配准等问题。

下面是椭圆仿射变换的原理及证明：

假设一个椭圆可以表示为方程：

(x-xc)^2/a^2 + (y-yc)^2/b^2 = 1

其中，(xc,yc)是椭圆中心，a和b是椭圆的半长轴和半短轴。

现在假设有一个仿射变换矩阵A和一个平移向量b，它们可以将点(x,y)映射到(x',y')：

[x',y'] = A[x,y] + b

要证明这个仿射变换可以将一个椭圆映射到另一个椭圆，需要证明：

1. 映射后得到的新的椭圆依然是一个闭合曲线，即新的椭圆方程也是二次方程。

2. 新的椭圆也是一个平面曲面，即不存在任何歪曲或扭曲。

事实上，证明这两个条件成立只需要对椭圆的方程做适当的代换和展开即可。对于一个任意点(x,y)，可以将其代入上述仿射变换公式得到新的坐标(x',y')，然后将(x',y')代入原始椭圆方程中，去掉一些不必要的中间项，再将椭圆方程进行一下展开，即可证明椭圆仿射变换的原理。

总的来说，椭圆仿射变换的原理是利用线性代数和几何学的知识，通过对椭圆方程进行仿射变换的代换和展开，证明将一个椭圆映射到另一个椭圆的可行性。这个原理可以应用到形状变换、图像匹配、3D建模和虚拟现实等领域中。

其他回答

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通俗地说，在平面坐标系内，仿射变换就是对一堆向量进行旋转和放大缩小的变换。

例如：一个单位圆x²＋y²＝1，如果将这个圆在水平方向上拉伸两倍，使得新的{x’=2x，y’=y}，那么明显这个图形就变成了x’²/4＋y’²=1，也就是椭圆。在几何直观上，也同样非常好理解。

在仿射变换中，由于改变的只是向量的方向、长度，而且是所有的向量同时发生变换，可以得到以下结论：

1.定比分点仍然成立。

2. 直线的平行关系仍然成立。

3. 直线与曲线之间的相切、相交、相离等关系仍然成立。

4. 由于旋转不影响图形面积，则若变换中{x’=λx，y’=μy}，则有S’=λμS

5.k’＝μ/λk

值得注意的是：角度的变换在仿射变换中相对复杂，所以一般不会关于角的关系使用仿射变换求解。

对于椭圆，仿射变换的意义，在于可以利用圆的性质来探究椭圆的性质了。

其他回答

造价不用找

在有限维的情况，每个椭圆仿射变换可以和一个向量b给出，

它可以写作A和一个附加的列b。

一个椭圆仿射变换应于一个矩阵和一个向量的乘法，

而椭圆仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，

这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。