什么是二项分布

二项分布用符号b(x．n．p)，表示在n次试验中有x次成功，成功的概率为p。

二项分布的概率函数可写作：

b(x．n．p)=

式中x＝0、1、2、3．．．．．n为正整数

两项分布中含有两个参数n与p，当它们的值已知时，便可计算出分布列中各概率的值。

例1 掷硬币试验。有10个硬币掷一次，或1个硬币掷十次。问五次正面向上的概率是多少?

解：根据题意n＝10，p＝q＝1/2，x＝5

b(5、l0、1/2) =

=

=

= 0．24609

所以五次正面向上的概率为0．24609

此题若问五次及五次以上正面向上的概率是多少?

解：此题要求出五次及五次以上正面向上的概率之和。正面有五次、六次、七次、八次、九次、十次。依公式5—10应为：

= 252/1024+210/1024+120/1024+45/1024+10/1024+1/1024

= 638/1024

= 0．623

五次及五次以上正面向上的概率为0．623

此题各项展开式的系数，若用杨辉三角计算也十分方便。读者：前面的杨辉三角写到(p + q)q5 + q6

= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64

= 1

2．当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。

(二)二项分布的平均数与标准差

如果二项分布满足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)时，二项分布接近正态分布。这时，也仅仅在这时，二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质：

μ = np (5—10a)

(5—10b)

即x变量具有μ = np , 的正态分布。

式中n为独立试验的次数，

p为成功事件的概率，q＝1- p。 由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数μ = np ，成功次数的分散程 。例如一个掷10枚硬币的试验，出现正面向上的平均次数为5次(μ= np＝)，正面向上的散布程度为10×（1/2）×（1/2）＝ 1．58(次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1．58。

二项分布的应用条件

1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。

2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。

3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。

二项分布的应用

项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由?猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。

例3有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素?

此题p＝q=1/2，即猜对猜错的概率各为0．5。np≥5，故此二项分布接近正态分布：

＝5

根据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下包含了全体的95％。如果用原分数表示，则为

=7.6≈8

它的意义是，完全凭猜测，10题中猜对8题以下的可能性为95％，猜对8、9、10题的概率只5％。因此可以推论说，答对8题以上者不是凭猜测，而是会答。但应该明确：作此结论，也仍然有犯错误的可能，即那些完全靠猜测的人也有5％的可能性答对8、9、10道题。

此题的概率值，还可用二项分布函数直接计算，亦得与正态分布近似的结果：

b(8 10 0.5)＝C₁02p8q2 ＝ ＝ 45/1024

b(9 10 0.5)＝C₁01p9q1 ＝ ＝ 10/1024

b(10 10 0.5) ＝C₁00p10＝ 1/1024

根据概率加法，答对8题及其以上的总概率为：45/1024+10/1024+1/1024＝56/1024 = 0．0547 同理，可计算8题以下的概率为 95％。(近似)．

例4有10道多重选择题，每题有5个答案，其中只有一个是正确的。问答对几题才能说不是猜的结果?

此题n＝10，p＝1/5 = 0．2，q = 0．8，np<5，故此题不接近正态分布，不能用正态分布计算概率，而应直接用二项分布函数计算猜时各题数的概率：

b(10、10、0.2)＝＝＝0.000000102

b(9、10、0.2)=＝＝0.000004096

b(8、10、0.2)= ＝＝0.000073728

b(7、10、0.2)＝＝＝0.000786432

b(6、10、0.2)＝＝＝0.00550524

b(5、10、0.2)＝＝＝0.026424115

b(4、10、0.2)＝＝＝0.088080384

根据以上所计算的猜对各题数的概率，可用概率加法求得猜对5题及5题以上的概率为0．03279，不足5％，故可推论说答对5题以上者可算真会，作此结论仍有3．3％犯错误的可能。

若上例中题数增加到30题，则np>5，就可用正态分布的概率计算：

解：＝6

=2.191

X＝μ+1.645×σ=6 +1.645×2.191＝9.6

因此可得结论，答对10题或10题以上，才能被认为是真会。作此结论犯错误的概率为5％。

如果想使推论犯错误的概率降为1％，则根据正态分布可求得此时的z＝2.33，使用相同的计算方法，只将2.33代替1.645，可求得临界的分数(或答对的题数)。