为什么列向量线性相关有非零解

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精选答案

首先，若矩阵A是m×n阶矩阵，Ax=0，若r(A)＜n，即A的列向量线性相关，也就是说A的列秩＜A的列数，方程个数比未知数少！！！也就是说假如3个未知量，只有2个方程，那么必然存在非零解。

所以A的列秩也是n-1，但不巧的是α1，α2，...，αn-1可是n维的。所以r(A)=n-1＜n，也就是说A的列秩＜A的列数 。齐次线性方程组AX=0有非零解<=>A的列向量组线性相关.这与方程组的表示方式有关.记 A=(a1,a2,..,an).则 AX=0 可记为 x1a1+x2a2+...+xnan = 0. 此称为方程组的向量形式.AX=0有非零解 <=> x1a1+x2a2+...+xnan = 0 有非零解由线性相关的定义知, 这与a1,a2,..,an线性相关等价.

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因为所有的解都是用一些系数连起来的，就好像直线方程y=kx+b一样，x和y就属于线性关系，从解析几何来讲，若将所有的解看做一个维度的坐标，那么他们的图像就是一条直线，就好像y=kx+b一样，所以叫做线性相关。

齐次线性方程组AX=0有非零解<=>A的列向量组线性相关.