洛必达法则等价无穷小公式

问题描述

精选答案

洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种用于计算极限的方法，适用于某些特定情况下，当函数的极限形式为“0/0”或“无穷/无穷”时。

洛必达法则指出，如果一个函数f(x)和g(x)在某一点a处满足一些条件，且它们在a点的极限都是0或无穷大，那么可以通过对f(x)和g(x)同时求导再求极限，来得到原函数的极限值。洛必达法则的等价无穷小公式是一种具体应用洛必达法则的计算方法，可以简化运算。它的基本形式是：若在一个极限问题中，在求导后，原问题与导函数的极限仍然为“0/0”或“无穷/无穷”，那么可以继续应用洛必达法则。这个过程可以一直进行下去，直到满足一定的条件求得极限值。需要注意的是，洛必达法则和等价无穷小公式仅适用于特定的极限计算问题，并不适用于一般的数学运算。在使用洛必达法则时，需要注意适用条件的合理性，并对问题做出必要的转化和简化，才能得到正确的结果。

其他回答

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①等价无穷小。

无穷小量是以0为极限的函数，设当x→x0时，f与g均为无穷小量，若limf(x)/g(x)＝1(x→x0)，则称f,g是当x→x0时的等价无穷小量，记作f(x)~g(x)(x→x0)。

②洛必达法则。

0/0型：limf(x)＝limg(x)＝0(x→x0)；在点x0的某空心邻域上两者都可导，且g'(x)≠0；limf'(x)/g'(x)＝A(x→x0,A可为实数也可为±∞或∞)。●/∞：在x0的某个右邻域上f,g都可导，且g'(x)≠0；limg(x)＝∞(x→x0+)；limf'(x)/g'(x)＝A(x→x0+,A可为实数也可为±∞或∞)。

③常用的等价无穷小。

sinx~tanx~eˣ-1~ln(1+x)~arcsinx~arctanx~x(x→0)；1-cosx~x²/2；(1+x)＾α~1+αx(x→0)。

④变限积分函数求导公式。

如果函数f(x)连续，u(x)和v(x)可导，那么变限积分函数∫[u(x),v(x)]f(t)dt(其中u(x)为下限，v(x)为上限)的导数为：f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)。