一次函数和指数函数组成的复合函数的微积分计算公式

问题描述

精选答案

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时,u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化,因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数（composite function),其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。

)求出复合函数的单调性。例如：讨论函数y=0。

8^(x^2-4x 3)的单调性。复合函数的导数函数定义域为R。令u=x^2-4x 3,y=0。

8^u。指数函数y=0。

8^u在(-∞, ∞)上是减函数,u=x^2-4x 3在(-∞,2]上是减函数,在[2, ∞)上是增函数,∴ 函数y=0。

8^(x2-4x 3)在(-∞,2]上是增函数,在[2, ∞)上是减函数。复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导 法则1：设u=g(x) f'(x)=f'(u)*g'(x) 法则2：设u=g(x),a=p(u) f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x) 例如：

1、求：函数f(x)=(3x 2)^3 3的导数 设u=g(x)=3x 2 f(u)=u^3 3 f'(u)=3u^2=3(3x 2)^2 g'(x)=3 f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x 2)^2*3=9(3x 2)^2 2、求f(x)=√[(x-4)^2 25]的导数 设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u^2 25 f(a)=√a f'(a)=1/(2√a)=1/{2√[(x-4)^2 25]} p'(u)=2u=2(x-4) g'(x)=1 f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=2(x-4)/{2√[(x-4)^2 25]}=(x-4)/√[(x-4)^2 25]

其他回答

经济创投说

一次函数和指数函数组成的复合函数的微积分计算通常涉及链式法则。如果你有一个函数 f(x) = a * e^(bx)，其中 a 和 b 是常数，以及 g(x) = cx + d，其中 c 和 d 也是常数，那么它们的复合函数可以表示为 h(x) = f(g(x))。

计算 h'(x)（h 的导数）的一般过程如下：

1. 首先计算 g'(x)（g 的导数）和 f'(u)（f 对于 u 的导数），其中 u = g(x)。

2. 计算 g'(x) = c，因为 g(x) 是一次函数。

3. 计算 f'(u)，这是指数函数的导数。对于 f(u) = a * e^(bu)，其导数为 f'(u) = a * b * e^(bu)。

4. 使用链式法则计算 h'(x)：

h'(x) = f'(u) * g'(x)

h'(x) = (a * b * e^(bu)) * c

所以，复合函数 h(x) = f(g(x)) 的导数 h'(x) 是 (a * b * e^(bu)) * c。

这就是一次函数和指数函数组成的复合函数的微积分计算公式。根据具体的常数值和表达式，你可以将它应用到特定的问题中。