复合函数求导法则的使用条件

问题描述

精选答案

复合函数的求导法则证明：例如：要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。

首先，根据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]当h->0时，u和v都->0，这个容易看。所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]