黎曼几何基础知识讲解

问题更新日期：2024-05-05 19:30:57

问题描述

精选答案

黎曼几何是现代数学中的一个重要分支，它是对欧几里得几何的一种扩展和推广。

黎曼几何的基础知识包括曲率、度量、联络等概念，下面我们来逐一介绍。 首先是曲率。在欧几里得几何中，直线是最短的路径，而在曲面上，最短路径则是沿着曲面的一条曲线。曲率就是描述曲线弯曲程度的量，它可以用曲率半径来表示。曲率半径越小，曲线的弯曲程度就越大。近红外二区成像仪-上海数联生物科技有限公司 其次是度量。度量是用来测量距离和角度的概念。在欧几里得几何中，距离和角度都是通过直线来定义的，而在曲面上，距离和角度则需要通过度量来定义。度量可以用一个对称的二次型来表示，它可以测量曲面上任意两点之间的距离和角度。 最后是联络。联络是描述曲面上的平行概念。在欧几里得几何中，平行线是永远不会相交的，而在曲面上，平行线则是会相交的。联络可以用一个联络系数来表示，它描述了曲面上的平行线如何相交。 黎曼几何是对欧几里得几何的一种扩展和推广，它将欧几里得几何中的概念推广到了曲面上。曲率、度量和联络是黎曼几何的基础知识，它们描述了曲面上的弯曲程度、距离和角度以及平行概念。黎曼几何在现代数学中有着广泛的应用，例如在物理学中描述时空的弯曲、在计算机图形学中描述曲面的。

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露露说公务员

1. 黎曼几何是一种非欧几何，是对欧几里得几何的推广和拓展，是现代数学的重要分支之一。

2. 黎曼几何的基础知识包括：曲率、度量、联络、测地线等概念，其中曲率是黎曼几何的核心概念，它描述了空间的弯曲程度；度量则描述了空间中的距离和角度；联络则描述了空间中的平行移动；测地线则描述了空间中的最短路径。

3. 黎曼几何的应用非常广泛，例如在相对论、天体物理学、地理学、计算机图形学等领域都有重要的应用。掌握黎曼几何的基础知识对于深入理解这些领域的相关理论和方法都非常重要。

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品谈教师帮

1. 黎曼几何是一种描述曲面和空间的几何学，但其基础知识相较于其他几何大体上会更加深入和抽象。

2. 黎曼几何基础知识需要掌握数学分析、线性代数等大量数学基础知识。不掌握这些基础知识的话，理解黎曼几何基础知识将会十分困难，进而导致学习整个黎曼几何极其艰难。

3. 了解黎曼几何基础知识可帮助我们认识到空间的非欧几何特点，了解工具的应用，也能够为研究一些高级的数学领域奠定坚实基础。

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露露说公务员

黎曼几何黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。

1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。

在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。

他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。

这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。

这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。

这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。

黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。

黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。

黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。

该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。

前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。

在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。

他们进一步发展了黎曼几何学。

但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。

大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。

随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。

并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。

1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。

而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。

例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。

1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。

半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。